Номер 9, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 108.

Условие.

14.9. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, вписанная в шар радиуса $R$. $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадратное основание. $SO'$ — высота пирамиды, которую мы обозначим как $H$. Точка $O'$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

По условию, боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Угол между прямой (боковым ребром $SA$) и плоскостью (основанием $ABCD$) — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость ($AO'$). Таким образом, $\angle SAO' = \alpha$.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. В сечении получается равнобедренный треугольник $\triangle ASC$. Поскольку все вершины пирамиды лежат на сфере, то точки $A$, $S$ и $C$ лежат на большой окружности этой сферы. Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$. Следовательно, для треугольника $\triangle ASC$ эта окружность является описанной.

В треугольнике $\triangle ASC$ сторона $SA$ — это боковое ребро пирамиды (обозначим его длину как $L$), а противолежащий ей угол — $\angle SCA$. Так как $\triangle ASC$ равнобедренный ($SA=SC$), то углы при основании $AC$ равны: $\angle SAC = \angle SCA$.

Как было определено ранее, $\angle SAO' = \alpha$. Так как точка $O'$ лежит на отрезке $AC$, то угол $\angle SAC$ совпадает с углом $\angle SAO'$, то есть $\angle SAC = \alpha$. Следовательно, $\angle SCA = \alpha$.

Применим к треугольнику $\triangle ASC$ и описанной около него окружности радиуса $R$ следствие из теоремы синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. $$ \frac{SA}{\sin(\angle SCA)} = 2R $$ Подставим известные величины: $$ \frac{L}{\sin \alpha} = 2R $$ Из этого соотношения выразим длину бокового ребра $L$: $$ L = 2R \sin \alpha $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO'$ (угол $\angle SO'A = 90^\circ$, так как $SO'$ — высота). В этом треугольнике катет $SO'$ является высотой пирамиды $H$, а гипотенуза $SA$ — боковым ребром $L$. По определению синуса угла $\alpha$: $$ \sin \alpha = \frac{SO'}{SA} = \frac{H}{L} $$ Выразим высоту $H$: $$ H = L \sin \alpha $$

Подставим в это равенство ранее найденное выражение для $L$: $$ H = (2R \sin \alpha) \cdot \sin \alpha = 2R \sin^2 \alpha $$

Ответ: $2R \sin^2 \alpha$.