Номер 4, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 108.

Условие.

14.4. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырёхугольная призма, сторона на основания которой равна $a$. Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Так как призма правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат со стороной $a$. Периметр такого основания равен $P = 4a$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся тем, что призма вписана в шар радиуса $R$. Это означает, что все вершины призмы лежат на поверхности шара, а центр шара совпадает с центром симметрии призмы. Диагональ призмы $d$ будет равна диаметру шара, то есть $d = 2R$.

Связь между диагональю призмы $d$, диагональю ее основания $d_{\text{осн}}$ и высотой $h$ выражается теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются $h$ и $d_{\text{осн}}$, а гипотенузой — $d$:

$d^2 = d_{\text{осн}}^2 + h^2$

Диагональ основания (квадрата со стороной $a$) вычисляется по формуле $d_{\text{осн}} = a\sqrt{2}$.

Подставим известные величины в уравнение:

$(2R)^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2$

$4R^2 = 2a^2 + h^2$

Отсюда найдем квадрат высоты:

$h^2 = 4R^2 - 2a^2$

Тогда высота призмы равна:

$h = \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 4a \cdot \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

Ответ: $4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}$