Номер 5, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 107.

Условие.

5. В каком случае пирамиду можно вписать в сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Пирамида считается вписанной в сферу, если все ее вершины (и вершина пирамиды, и все вершины основания) лежат на поверхности этой сферы. Центр такой сферы является точкой, равноудаленной от всех вершин пирамиды.

Для того чтобы пирамиду можно было вписать в сферу, необходимо и достаточно, чтобы около многоугольника, лежащего в ее основании, можно было описать окружность. Обоснуем это. Пусть $O$ — центр описанной сферы. По определению, он должен быть равноудален от всех вершин пирамиды. В частности, он должен быть равноудален от всех вершин основания. Множество точек пространства, равноудаленных от вершин многоугольника, — это прямая, которая перпендикулярна плоскости этого многоугольника и проходит через центр описанной около него окружности. Такая прямая существует тогда и только тогда, когда около многоугольника в основании можно описать окружность. Если это условие выполняется, то центр описанной сферы $O$ будет лежать на этой прямой. Его точное положение на прямой определяется условием равноудаленности от вершины пирамиды и любой из вершин основания.

Таким образом, в сферу можно вписать любую пирамиду, у которой основание является вписанным многоугольником. Например, в сферу можно вписать любую треугольную пирамиду, так как около любого треугольника можно описать окружность. Также можно вписать любую правильную пирамиду, поскольку ее основание — правильный многоугольник, который всегда является вписанным. Другие примеры оснований, для которых это возможно: прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция. В то же время, пирамиду, в основании которой лежит, например, ромб (не являющийся квадратом) или параллелограмм (не являющийся прямоугольником), в общем случае вписать в сферу нельзя.

Ответ: Пирамиду можно вписать в сферу тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность (то есть, когда многоугольник в основании является вписанным).