Номер 4, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 107.

Условие.

4. Где расположен центр сферы, описанной около правильной призмы?

Решение 1.

Решение 3.

Сфера называется описанной около многогранника, если все вершины этого многогранника лежат на поверхности сферы. Это означает, что центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника.

Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Все боковые ребра правильной призмы перпендикулярны ее основаниям.

Рассмотрим, где должен находиться центр $O$ описанной сферы. Он должен быть равноудален от всех вершин призмы.

Во-первых, центр $O$ должен быть равноудален от всех вершин нижнего основания. Так как нижнее основание — это правильный многоугольник, геометрическое место точек, равноудаленных от его вершин, — это прямая, перпендикулярная плоскости основания и проходящая через его центр. Эта прямая является осью призмы.

Аналогично, центр $O$ должен быть равноудален от всех вершин верхнего основания, а значит, он также должен лежать на оси призмы. Таким образом, центр сферы лежит на оси, соединяющей центры оснований призмы.

Во-вторых, центр $O$ должен быть равноудален от вершин нижнего и верхнего оснований. Например, для любой пары соответствующих вершин $A$ (на нижнем основании) и $B$ (на верхнем), должно выполняться равенство $OA = OB$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек, — это плоскость, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. Для призмы такая плоскость будет параллельна основаниям и находиться ровно посередине между ними.

Следовательно, центр описанной сферы — это точка пересечения оси призмы и плоскости, делящей высоту призмы пополам. Эта точка и есть середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.

Ответ: Центр сферы, описанной около правильной призмы, находится в середине отрезка, соединяющего центры ее оснований. Этот отрезок также является осью призмы.