Номер 42, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 42, страница 103.

Условие.

13.42. Отрезок $BD$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$, проведённая к его основанию. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Прямая $AM$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите, в каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$, считая от точки $B$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. $BD$ — высота, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому точка $D$ — середина отрезка $AC$. По условию, точка $M$ — середина высоты $BD$. Прямая, проходящая через точки $A$ и $M$, пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Необходимо найти отношение $BK : KC$.

Для решения задачи можно использовать несколько подходов. Приведем два из них.

Решение 1: с использованием теоремы Менелая

Рассмотрим треугольник $BDC$ и секущую $AMK$. Прямая $AMK$ пересекает две стороны треугольника ($BC$ в точке $K$ и $BD$ в точке $M$) и продолжение третьей стороны ($DC$ в точке $A$). По теореме Менелая для $\triangle BDC$ и секущей $AK$ справедливо следующее соотношение:

$\frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DM}{MB} = 1$

Определим значения отношений в этой формуле. Так как $D$ — середина $AC$, то $CA = 2 \cdot AD$, откуда следует, что $\frac{CA}{AD} = 2$. Так как $M$ — середина $BD$, то $DM = MB$, откуда следует, что $\frac{DM}{MB} = 1$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$\frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot 1 = 1$

Из этого уравнения находим искомое отношение:

$\frac{BK}{KC} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $B$.

Ответ: $1:2$.

Решение 2: с использованием подобных треугольников

Выполним дополнительное построение. Проведем через точку $D$ прямую, параллельную стороне $BC$, и обозначим точку ее пересечения с прямой $AM$ как $F$. Таким образом, $DF \parallel BC$.

Сначала рассмотрим $\triangle AKC$. В этом треугольнике $D$ является серединой стороны $AC$, а отрезок $DF$ параллелен стороне $KC$. По теореме о средней линии, $DF$ является средней линией $\triangle AKC$. Следовательно, $DF = \frac{1}{2} KC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MFD$ и $\triangle MKB$. У этих треугольников угол $\angle FMD$ равен углу $\angle KMB$ (как вертикальные углы). Угол $\angle MDF$ равен углу $\angle MBK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $BD$). Таким образом, $\triangle MFD \sim \triangle MKB$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BK}{DF} = \frac{BM}{DM}$

По условию задачи, $M$ — середина отрезка $BD$, поэтому $BM = DM$, и отношение $\frac{BM}{DM} = 1$. Отсюда следует, что $\frac{BK}{DF} = 1$, то есть $BK = DF$.

Объединяя полученные результаты, имеем $BK = DF$ и $DF = \frac{1}{2} KC$. Следовательно, $BK = \frac{1}{2} KC$.

Это означает, что искомое отношение $\frac{BK}{KC} = \frac{1}{2}$, или $BK : KC = 1 : 2$.

Ответ: $1:2$.