Номер 37, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 37, страница 102.

Условие.

13.37. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 12 см. Найдите радиус шара, если площади данных сечений равны $64\pi$ см² и $100\pi$ см².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Два сечения шара являются кругами. Обозначим их площади как $S_1 = 64\pi$ см² и $S_2 = 100\pi$ см². Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга.

Найдем радиусы этих двух сечений ($r_1$ и $r_2$):

Для первого сечения: $S_1 = \pi r_1^2 = 64\pi$, откуда $r_1^2 = 64$ и $r_1 = 8$ см.

Для второго сечения: $S_2 = \pi r_2^2 = 100\pi$, откуда $r_2^2 = 100$ и $r_2 = 10$ см.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры первого и второго сечений соответственно. Общая хорда сечений, обозначим ее $AB$, имеет длину 12 см. Эта хорда лежит в плоскости каждого из сечений.

Рассмотрим первое сечение (круг с центром $O_1$ и радиусом $r_1 = 8$ см). Расстояние от центра круга $O_1$ до хорды $AB$ можно найти из прямоугольного треугольника. Пусть $M$ — середина хорды $AB$, тогда $AM = 12 / 2 = 6$ см и $O_1M \perp AB$. По теореме Пифагора для $\triangle O_1MA$:$O_1M^2 + AM^2 = r_1^2$$O_1M^2 + 6^2 = 8^2$$O_1M^2 + 36 = 64$$O_1M^2 = 64 - 36 = 28$$O_1M = \sqrt{28}$ см.

Аналогично рассмотрим второе сечение (круг с центром $O_2$ и радиусом $r_2 = 10$ см). В $\triangle O_2MA$:$O_2M^2 + AM^2 = r_2^2$$O_2M^2 + 6^2 = 10^2$$O_2M^2 + 36 = 100$$O_2M^2 = 100 - 36 = 64$$O_2M = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь рассмотрим пространственное расположение. Пусть $d_1 = OO_1$ и $d_2 = OO_2$ — расстояния от центра шара $O$ до плоскостей сечений. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны соотношением: $R^2 = r^2 + d^2$.Следовательно:

1) $R^2 = r_1^2 + d_1^2 = 8^2 + d_1^2$

2) $R^2 = r_2^2 + d_2^2 = 10^2 + d_2^2$

Поскольку плоскости сечений перпендикулярны, а отрезки $O_1M$ и $O_2M$ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны линии их пересечения (хорде $AB$), то угол между $O_1M$ и $O_2M$ прямой, то есть $\angle O_1MO_2 = 90^\circ$.

Перпендикуляр из центра шара $O$ на плоскость первого сечения есть отрезок $OO_1$, поэтому $OO_1 \perp O_1M$. Аналогично, $OO_2 \perp O_2M$.

Таким образом, в четырехугольнике $OO_1MO_2$ три угла ($\angle OO_1M$, $\angle OO_2M$ и $\angle O_1MO_2$) являются прямыми. Следовательно, $OO_1MO_2$ — прямоугольник.

Из свойств прямоугольника следует, что его противоположные стороны равны:$d_1 = OO_1 = O_2M = 8$ см.$d_2 = OO_2 = O_1M = \sqrt{28}$ см.

Теперь мы можем найти радиус шара $R$, подставив найденные значения в любую из формул для $R^2$. Используем первую формулу:$R^2 = r_1^2 + d_1^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

Для проверки используем вторую формулу:$R^2 = r_2^2 + d_2^2 = 10^2 + (\sqrt{28})^2 = 100 + 28 = 128$.

Результаты совпадают. Найдем радиус:$R = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.