Номер 33, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 33, страница 102.

Условие.

13.33. Через точку к сфере проведены касательные. Найдите геометрическое место точек касания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка, из которой проведены касательные к сфере. Так как касательные можно провести, точка $A$ находится вне сферы, то есть расстояние от точки $A$ до центра сферы $|OA| > R$.

Обозначим произвольную точку касания на сфере как $T$. По определению касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной прямой. Следовательно, радиус $OT$ перпендикулярен касательной $AT$. Это означает, что треугольник $\triangle OTA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$ ($\angle OTA = 90^\circ$).

Это справедливо для любой точки касания $T$. Все такие точки $T$ обладают свойством, что отрезок $OT$ перпендикулярен отрезку $AT$. Рассмотрим все такие прямоугольные треугольники $\triangle OTA$. У них общая гипотенуза $OA$ и один из катетов $OT$ имеет постоянную длину, равную радиусу сферы $R$.

Из этого следует, что длина второго катета $AT$ (длина отрезка касательной от точки $A$ до точки касания $T$) также постоянна для всех точек касания и равна:

$|AT| = \sqrt{|OA|^2 - |OT|^2} = \sqrt{|OA|^2 - R^2}$

Таким образом, все точки касания $T$ удовлетворяют двум условиям:

1. Они лежат на исходной сфере с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Они равноудалены от точки $A$ на расстояние $|AT|$, то есть лежат на сфере с центром в точке $A$ и радиусом $r_A = \sqrt{|OA|^2 - R^2}$.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих этим двум условиям, является линией пересечения двух сфер. Пересечение двух сфер — это окружность (или точка, или пустое множество). В данном случае, так как $|OA| > R$, сферы пересекаются по окружности.

Плоскость, в которой лежит эта окружность, перпендикулярна линии, соединяющей центры сфер, то есть прямой $OA$. Множество всех касательных, проведенных из точки $A$ к сфере, образует поверхность конуса, вершиной которого является точка $A$, а искомое геометрическое место точек касания является его направляющей окружностью.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, лежащая на сфере. Плоскость этой окружности перпендикулярна прямой, соединяющей данную точку с центром сферы.