Номер 36, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 36, страница 102.

Условие.

13.36. Стороны ромба касаются сферы, диаметр которой равен $a$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба, если его сторона равна $a$, а острый угол равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - ее радиус. По условию, диаметр сферы равен $a$, следовательно, радиус $R = \frac{a}{2}$.

Пусть искомое расстояние от центра сферы $O$ до плоскости ромба равно $d$. Это расстояние является длиной перпендикуляра $OO'$, опущенного из центра сферы на плоскость ромба. Точка $O'$ - это проекция центра сферы на плоскость ромба.

Так как все стороны ромба касаются сферы, то точки касания лежат на сфере. Расстояние от центра сферы $O$ до любой из сторон ромба равно радиусу сферы $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный тремя точками:
1. Центр сферы $O$.
2. Проекция центра сферы на плоскость ромба $O'$.
3. Основание перпендикуляра, опущенного из точки $O'$ на любую из сторон ромба.

Длины сторон этого треугольника:
- Гипотенуза - это расстояние от центра сферы $O$ до стороны ромба, которое равно радиусу сферы $R$.
- Один катет - это искомое расстояние $d = |OO'|$.
- Другой катет - это расстояние от точки $O'$ до стороны ромба.

Поскольку точка $O'$ является проекцией центра сферы, а все стороны ромба касаются сферы, то точка $O'$ равноудалена от всех сторон ромба. В ромбе точкой, равноудаленной от всех сторон, является центр ромба (точка пересечения диагоналей). Расстояние от центра ромба до его стороны есть не что иное, как радиус вписанной в ромб окружности, обозначим его $r$.

Таким образом, по теореме Пифагора мы можем связать $d$, $R$ и $r$:$R^2 = d^2 + r^2$Отсюда $d^2 = R^2 - r^2$.

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Сторона ромба по условию равна $a$, а острый угол равен $\alpha$. Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$. Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба $a$ (гипотенуза) и углом $\alpha$:$h = a \cdot \sin(\alpha)$.

Следовательно, радиус вписанной окружности:$r = \frac{h}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

Теперь подставим известные значения $R = \frac{a}{2}$ и $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$ в нашу формулу для $d$:$d^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2$$d^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4}$$d^2 = \frac{a^2}{4}(1 - \sin^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, получаем $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$.$d^2 = \frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{4}$

Извлекая квадратный корень (учитывая, что расстояние $d$ не может быть отрицательным, а $\cos(\alpha) > 0$ для острого угла $\alpha$), получаем:$d = \sqrt{\frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{4}} = \frac{a \cos(\alpha)}{2}$.

Ответ: $\frac{a \cos(\alpha)}{2}$.