Номер 35, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 35, страница 102.

Условие.

13.35. Стороны треугольника равны 17 см, 28 см и 39 см и касаются данной сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости этого треугольника равно 12 см. Найдите радиус сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус сферы, $O$ — ее центр. Стороны заданного треугольника равны $a=17$ см, $b=28$ см и $c=39$ см и касаются сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, равно радиусу сферы $R$.

Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости, в которой лежит треугольник, по условию равно $h=12$ см. Пусть $O'$ — это проекция точки $O$ на плоскость треугольника. Тогда отрезок $OO'$ является перпендикуляром к этой плоскости, и его длина равна $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы $O$, его проекцией $O'$ и точкой касания $K$ на одной из сторон треугольника. Катетами этого треугольника являются $OO'$ (длиной $h$) и $O'K$, а гипотенузой — радиус сферы $OK$ (длиной $R$). По теореме Пифагора имеем: $R^2 = h^2 + (O'K)^2$.

Поскольку радиус сферы $R$ и расстояние $h$ являются постоянными для всех трех сторон треугольника, расстояние $O'K$ от проекции центра сферы до каждой из сторон также будет одинаковым. Обозначим это расстояние как $r$. Точка $O'$, равноудаленная от всех сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности, а $r$ — радиусом этой окружности.

Таким образом, задача сводится к двум шагам: сначала найти радиус $r$ вписанной в треугольник окружности, а затем, используя его и данное расстояние $h$, найти радиус сферы $R$ по формуле $R = \sqrt{h^2 + r^2}$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.Сначала вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+28+39}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$p-a = 42 - 17 = 25$$p-b = 42 - 28 = 14$$p-c = 42 - 39 = 3$$S = \sqrt{42 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 3} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot 5^2 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:$r = \frac{S}{p} = \frac{210}{42} = 5$ см.

Наконец, вычислим радиус сферы $R$, зная, что $h=12$ см и $r=5$ см:$R^2 = h^2 + r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.