Номер 41, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 41, страница 103.

Условие.

13.41. В шаре радиусом $R$ проведены два равных сечения, имеющие общую хорду длиной $a$. Угол между плоскостями сечений равен $\alpha$. Найдите площадь каждого из данных сечений.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Сечениями шара являются круги. Так как по условию сечения равны, то их радиусы одинаковы. Обозначим радиус каждого сечения через $r$. Площадь каждого сечения $S$ можно найти по формуле $S = \pi r^2$. Таким образом, задача сводится к нахождению квадрата радиуса сечения $r^2$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух сечений. Расстояние от центра шара до плоскости сечения одинаково для равных сечений. Обозначим это расстояние $h$, то есть $OO_1 = OO_2 = h$. Для любого сечения радиуса $r$, находящегося на расстоянии $h$ от центра шара, справедливо соотношение, вытекающее из теоремы Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$.

Оба сечения имеют общую хорду длиной $a$. Обозначим эту хорду $AB$. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. В плоскости первого сечения рассмотрим треугольник $O_1MA$. Он прямоугольный, так как радиус $O_1M$, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей. Катеты этого треугольника равны $O_1M$ и $AM = a/2$, а гипотенуза является радиусом сечения $O_1A = r$. По теореме Пифагора: $r^2 = (O_1M)^2 + (a/2)^2$. Аналогично для второго сечения: $r^2 = (O_2M)^2 + (a/2)^2$, откуда следует, что $O_1M = O_2M$.

Угол между плоскостями сечений равен $\alpha$. Этот двугранный угол измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами к общей хорде $AB$, проведенными в плоскостях сечений из одной точки на хорде. Такими перпендикулярами являются отрезки $O_1M$ и $O_2M$. Следовательно, угол между ними равен $\alpha$: $\angle O_1MO_2 = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $O_1MO_2$. Он равнобедренный, так как $O_1M = O_2M$.

Теперь рассмотрим пространственное расположение точек $O, O_1, O_2, M$. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости первого сечения, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O_1$. В частности, $OO_1 \perp O_1M$. Аналогично, $OO_2 \perp O_2M$. Таким образом, треугольники $OO_1M$ и $OO_2M$ — прямоугольные.

Из прямоугольного треугольника $OO_1M$ по теореме Пифагора имеем: $(OM)^2 = (OO_1)^2 + (O_1M)^2 = h^2 + (O_1M)^2$.

Точки $O, O_1, M, O_2$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной хорде $AB$. В этой плоскости рассмотрим четырехугольник $OO_1MO_2$. В нем $\angle OO_1M = \angle OO_2M = 90^\circ$ и $\angle O_1MO_2 = \alpha$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle O_1OO_2 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов к треугольникам $O_1OO_2$ и $O_1MO_2$ для стороны $O_1O_2$:

В $\triangle O_1OO_2$: $(O_1O_2)^2 = (OO_1)^2 + (OO_2)^2 - 2(OO_1)(OO_2)\cos(\angle O_1OO_2) = h^2 + h^2 - 2h^2\cos(180^\circ - \alpha) = 2h^2(1 + \cos\alpha)$.

В $\triangle O_1MO_2$: $(O_1O_2)^2 = (O_1M)^2 + (O_2M)^2 - 2(O_1M)(O_2M)\cos(\angle O_1MO_2) = (O_1M)^2 + (O_1M)^2 - 2(O_1M)^2\cos\alpha = 2(O_1M)^2(1 - \cos\alpha)$.

Приравнивая выражения для $(O_1O_2)^2$, получаем: $2h^2(1 + \cos\alpha) = 2(O_1M)^2(1 - \cos\alpha)$.

Используя формулы половинного угла $1+\cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2)$ и $1-\cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:$h^2 \cdot 2\cos^2(\alpha/2) = (O_1M)^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2)$, откуда $(O_1M)^2 = h^2 \frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)} = h^2 \cot^2(\alpha/2)$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения $r^2$:

1) $h^2 = R^2 - r^2$

2) $(O_1M)^2 = r^2 - a^2/4$

3) $(O_1M)^2 = h^2 \cot^2(\alpha/2)$

Подставим (1) и (2) в (3):$r^2 - \frac{a^2}{4} = (R^2 - r^2) \cot^2\frac{\alpha}{2}$

$r^2 - \frac{a^2}{4} = (R^2 - r^2) \frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}$

Умножим обе части на $\sin^2(\alpha/2)$:

$(r^2 - \frac{a^2}{4})\sin^2\frac{\alpha}{2} = (R^2 - r^2)\cos^2\frac{\alpha}{2}$

$r^2\sin^2\frac{\alpha}{2} - \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2} = R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} - r^2\cos^2\frac{\alpha}{2}$

$r^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + r^2\cos^2\frac{\alpha}{2} = R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}$

$r^2(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}) = R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}$

$r^2 = R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Площадь каждого сечения равна $S = \pi r^2$.

$S = \pi \left( R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2} \right)$

Ответ: $S = \pi \left( R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2} \right)$.