Номер 3, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 107.

Условие.

3. В каком случае призму можно вписать в сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы призму можно было вписать в сферу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Призма должна быть прямой (то есть ее боковые ребра должны быть перпендикулярны плоскостям оснований).

2. В основании призмы должен лежать многоугольник, который можно вписать в окружность (такой многоугольник называется вписанным).

Доказательство

Призма считается вписанной в сферу, если все ее вершины лежат на поверхности этой сферы. Это равносильно тому, что все вершины призмы равноудалены от одной точки — центра сферы.

Рассмотрим вершины одного из оснований призмы. Поскольку все они лежат на сфере, они также должны лежать на окружности, которая является результатом пересечения плоскости основания и сферы. Это означает, что многоугольник в основании должен быть таким, который можно вписать в окружность.

Пусть $O$ — центр сферы, а $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований соответственно. Множество точек, равноудаленных от всех вершин нижнего основания, представляет собой прямую $l_1$, перпендикулярную плоскости этого основания и проходящую через точку $O_1$. Аналогично, множество точек, равноудаленных от всех вершин верхнего основания, — это прямая $l_2$, перпендикулярная плоскости верхнего основания и проходящая через $O_2$.

Центр сферы $O$ должен принадлежать обеим этим прямым. Так как плоскости оснований призмы параллельны, то и перпендикулярные им прямые $l_1$ и $l_2$ также параллельны. Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают. Это произойдет тогда и только тогда, когда прямая, соединяющая центры $O_1$ и $O_2$, будет перпендикулярна плоскостям оснований. Такое условие выполняется для прямой призмы.

Таким образом, для вписания призмы в сферу необходимо, чтобы она была прямой и ее основание было вписанным многоугольником. Центр описанной сферы будет находиться в середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований. Радиус $R$ описанной сферы можно найти по теореме Пифагора:

$R^2 = r_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$

где $r_{осн}$ — радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы.

Ответ: Призму можно вписать в сферу в том и только в том случае, если призма является прямой, а в ее основании лежит многоугольник, который можно вписать в окружность.