Номер 2, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 108.

Условие.

14.2. В сферу радиуса $R$ вписан куб. Найдите площадь поверхности этого куба.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона куба, вписанного в сферу, равна $a$, а радиус сферы равен $R$.

Когда куб вписан в сферу, все его восемь вершин лежат на поверхности этой сферы. Это означает, что центр куба совпадает с центром сферы, а главная (пространственная) диагональ куба является диаметром сферы.

Диаметр сферы равен $D = 2R$.

Длину главной диагонали куба $d$ можно найти через его сторону $a$ с помощью теоремы Пифагора. Сначала найдем диагональ $d_{грани}$ одной из граней куба:

$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром куба $a$, диагональю грани $d_{грани}$ и главной диагональю куба $d$. Главная диагональ является гипотенузой в этом треугольнике:

$d^2 = a^2 + d_{грани}^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Следовательно, длина главной диагонали куба равна $d = a\sqrt{3}$.

Так как главная диагональ куба равна диаметру описанной сферы, мы можем записать:

$d = D$

$a\sqrt{3} = 2R$

Из этого равенства выразим сторону куба $a$ через радиус сферы $R$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Площадь поверхности куба $S$ — это сумма площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Тогда площадь всей поверхности куба равна:

$S = 6a^2$

Подставим найденное выражение для $a$ в формулу площади поверхности:

$S = 6 \cdot \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4R^2}{3}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{24R^2}{3} = 8R^2$

Ответ: $8R^2$