Номер 6, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 108.

Условие.

14.6. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Радиус шара, описанного около данной призмы, равен 13 см. Найдите боковое ребро призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Боковое ребро прямой призмы равно ее высоте, обозначим его как $h$. Радиус шара, описанного около призмы, равен $R = 13$ см.

Радиус шара $R$, описанного около прямой призмы, связан с радиусом окружности $r_c$, описанной около основания призмы, и высотой призмы $h$ следующей формулой:

$R^2 = r_c^2 + (\frac{h}{2})^2$

Для того чтобы найти боковое ребро $h$, нам сначала нужно найти радиус окружности, описанной около основания призмы, $r_c$.

1. Нахождение радиуса описанной окружности основания.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Найдем гипотенузу $c$ основания по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности основания:

$r_c = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Нахождение бокового ребра призмы.

Теперь мы можем использовать формулу, связывающую $R$, $r_c$ и $h$. Подставим известные значения $R=13$ см и $r_c=5$ см:

$13^2 = 5^2 + (\frac{h}{2})^2$

$169 = 25 + (\frac{h}{2})^2$

Выразим $(\frac{h}{2})^2$:

$(\frac{h}{2})^2 = 169 - 25$

$(\frac{h}{2})^2 = 144$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{h}{2} = \sqrt{144}$

$\frac{h}{2} = 12$

Отсюда найдем $h$:

$h = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Таким образом, боковое ребро призмы равно 24 см.

Ответ: 24 см.