Номер 13, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 108.

Условие.

14.13. Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, делит её высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Основание ABC – равносторонний треугольник, а высота пирамиды SH падает в центр основания H (который является центром описанной и вписанной окружностей для треугольника ABC).

Центр O описанного около пирамиды шара лежит на ее высоте SH. По условию, точка O делит высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Следовательно, вся высота пирамиды равна $H = SH = 6 + 3 = 9$ см.

Пусть R – радиус описанного шара. По определению, центр шара O равноудален от всех вершин пирамиды. Таким образом, $OS = OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (угол $\angle OHA = 90^\circ$, так как SH – высота к плоскости основания). Катет $AH$ является радиусом окружности, описанной около основания ABC (обозначим его $R_{осн}$). По теореме Пифагора, $OA^2 = OH^2 + AH^2$, или $R^2 = OH^2 + R_{осн}^2$.

Существует два возможных варианта расположения точки O на высоте SH.

Случай 1: Отрезок от центра шара до вершины пирамиды равен 6 см, а до основания – 3 см. В этом случае $OS = 6$ см и $OH = 3$ см. Так как $OS = R$, то радиус шара $R = 6$ см. Гипотенуза в треугольнике $\triangle OHA$ равна $OA = R = 6$ см. Подставим значения в теорему Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$ $6^2 = 3^2 + R_{осн}^2$ $36 = 9 + R_{осн}^2$ $R_{осн}^2 = 27$, откуда $R_{осн} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Случай 2: Отрезок от центра шара до вершины пирамиды равен 3 см, а до основания – 6 см. В этом случае $OS = 3$ см и $OH = 6$ см. Радиус шара $R = OS = 3$ см. Тогда в прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ гипотенуза $OA = R = 3$ см, а катет $OH = 6$ см. Это невозможно, так как катет не может быть длиннее гипотенузы. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, мы рассматриваем только первый случай. Зная радиус описанной около основания окружности $R_{осн} = 3\sqrt{3}$ см, найдем сторону основания $a$. Для равностороннего треугольника справедлива формула $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Выразим сторону основания: $a = R_{осн} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.