Номер 18, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 109.

Условие.

14.18. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом $ \alpha $ между диагоналями, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен $ R $. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть $S$ — вершина пирамиды.

Так как каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\beta$, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно, $SO$ — высота пирамиды $H$, а отрезки $AO$, $BO$, $CO$, $DO$ равны радиусу $r_{осн}$ этой описанной окружности.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость (отрезком $AO$). Таким образом, в прямоугольном треугольнике $SAO$ ($\angle SOA = 90^\circ$) угол $\angle SAO = \beta$.

Центр описанной около пирамиды сферы лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восстановленном из центра описанной около основания окружности, то есть на прямой $SO$. Радиус $R$ такой сферы связан с высотой пирамиды $H=SO$ и радиусом описанной около основания окружности $r_{осн}$ формулой: $ R = \frac{H^2 + r_{осн}^2}{2H} $

Из прямоугольного треугольника $SAO$ выразим высоту $H$ через $r_{осн}$ и угол $\beta$: $ H = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = r_{осн} \tan(\beta) $

Подставим это выражение для $H$ в формулу для радиуса $R$: $ R = \frac{(r_{осн} \tan(\beta))^2 + r_{осн}^2}{2 r_{осн} \tan(\beta)} = \frac{r_{осн}^2(\tan^2(\beta) + 1)}{2 r_{осн} \tan(\beta)} $ Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(\beta) = \frac{1}{\cos^2(\beta)}$, получаем: $ R = \frac{r_{осн} \cdot \frac{1}{\cos^2(\beta)}}{2 \tan(\beta)} = \frac{r_{осн}}{2 \tan(\beta) \cos^2(\beta)} = \frac{r_{осн}}{2 \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \cos^2(\beta)} = \frac{r_{осн}}{2 \sin(\beta) \cos(\beta)} $ Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta) $, окончательно находим связь между $R$ и $r_{осн}$: $ R = \frac{r_{осн}}{\sin(2\beta)} $

Отсюда выразим радиус описанной около основания окружности: $ r_{осн} = R \sin(2\beta) $.

Диагональ прямоугольника $d$ в два раза больше этого радиуса: $ d = 2r_{осн} = 2R \sin(2\beta) $.

Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ (площадь прямоугольника) можно найти по формуле площади четырехугольника через его диагонали и угол $\alpha$ между ними: $ S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha) $ Для прямоугольника диагонали равны ($d_1 = d_2 = d$), поэтому: $ S_{осн} = \frac{1}{2} d^2 \sin(\alpha) $ Подставим найденное выражение для диагонали $d$: $ S_{осн} = \frac{1}{2} (2R \sin(2\beta))^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin^2(2\beta) \sin(\alpha) = 2R^2 \sin^2(2\beta) \sin(\alpha) $

Ответ: $2R^2 \sin^2(2\beta) \sin(\alpha)$