Номер 14, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 109.

Условие.

14.14. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен $R$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. $SO = H$ — высота пирамиды, где $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Пусть $M$ — середина ребра основания $BC$. Тогда отрезок $SM$ является апофемой боковой грани $SBC$, а отрезок $OM$ — радиусом вписанной в основание окружности.

Двугранный угол при ребре основания по условию равен $\alpha$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $(SBC)$ и $(ABC)$, и равен углу $\angle SMO$. Таким образом, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Из определения тригонометрических функций следует, что $\tan \alpha = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$. Отсюда можно выразить длину отрезка $OM$ через высоту $H$ и угол $\alpha$:

$OM = \frac{H}{\tan \alpha} = H \cot \alpha$.

Так как основанием пирамиды является равносторонний треугольник, его центр $O$ является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Центр $O$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, радиус описанной около основания окружности $AO$ в два раза больше радиуса вписанной окружности $OM$:

$AO = 2 \cdot OM = 2H \cot \alpha$.

Пусть $O_{сф}$ — центр описанной около пирамиды сферы, а $R$ — её радиус. В силу симметрии правильной пирамиды, центр описанной сферы лежит на её высоте $SO$. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу $R$, то есть $O_{сф}S = R$ и $O_{сф}A = R$.

Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и вершину основания $A$. В этой плоскости лежит прямоугольный треугольник $\triangle AOO_{сф}$ с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора имеем: $O_{сф}A^2 = AO^2 + OO_{сф}^2$.

Так как точки $S$, $O_{сф}$ и $O$ лежат на одной прямой, расстояние $OO_{сф}$ можно выразить через $H$ и $R$. $SO=H$ и $SO_{сф}=R$, значит $OO_{сф} = |H - R|$. Подставляя известные значения в теорему Пифагора, получаем:

$R^2 = AO^2 + (H-R)^2$

$R^2 = AO^2 + H^2 - 2HR + R^2$

$0 = AO^2 + H^2 - 2HR$

Отсюда получаем важное соотношение: $2HR = H^2 + AO^2$.

Теперь подставим в это соотношение ранее найденное выражение для $AO = 2H \cot \alpha$:

$2HR = H^2 + (2H \cot \alpha)^2$

$2HR = H^2 + 4H^2 \cot^2 \alpha$

Поскольку высота пирамиды $H \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $H$:

$2R = H + 4H \cot^2 \alpha$

Вынесем $H$ за скобки в правой части:

$2R = H(1 + 4 \cot^2 \alpha)$

Наконец, выразим высоту $H$:

$H = \frac{2R}{1 + 4 \cot^2 \alpha}$

Это выражение можно также записать через тангенс: $H = \frac{2R \tan^2 \alpha}{4 + \tan^2 \alpha}$.

Ответ: $H = \frac{2R}{1 + 4 \cot^2 \alpha}$.