Номер 20, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 109.

Условие.

14.20. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $60^\circ$, а противолежащая ему сторона – $4\sqrt{3}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является треугольник $ABC$, а ее вершиной — точка $S$. По условию, в $\triangle ABC$ один из углов равен $60^\circ$, а противолежащая ему сторона — $4\sqrt{3}$ см. Пусть это будут угол $\angle A = 60^\circ$ и сторона $BC = a = 4\sqrt{3}$ см. Также по условию, все боковые ребра пирамиды равны 5 см: $SA = SB = SC = 5$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, ее вершина $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим этот центр как $O_{осн}$, а радиус этой окружности как $R_{осн}$. Найдем $R_{осн}$ по теореме синусов для треугольника $ABC$:

$2R_{осн} = \frac{a}{\sin A}$

$R_{осн} = \frac{a}{2\sin A} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Высота пирамиды $H = SO_{осн}$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SO_{осн}A$. В этом треугольнике гипотенуза $SA$ — это боковое ребро (5 см), а катет $O_{осн}A$ — это радиус описанной окружности основания ($R_{осн} = 4$ см). По теореме Пифагора:

$H^2 = SA^2 - O_{осн}A^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$

$H = \sqrt{9} = 3$ см.

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды, равноудален от всех ее вершин. Поскольку он равноудален от вершин основания $A, B, C$, он лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности $O_{осн}$. Этот перпендикуляр является прямой, содержащей высоту пирамиды $SO_{осн}$. Таким образом, точки $S, O, O_{осн}$ лежат на одной прямой.

Пусть $R_{сф}$ — радиус описанной сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до любой вершины пирамиды равно $R_{сф}$. Искомое расстояние — это длина отрезка $OO_{осн}$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_{осн}A$. По теореме Пифагора:

$R_{сф}^2 = OA^2 = OO_{осн}^2 + O_{осн}A^2 = d^2 + R_{осн}^2 = d^2 + 4^2 = d^2 + 16$.

Расстояние от центра сферы $O$ до вершины $S$ также равно $R_{сф}$. Так как точки $S, O, O_{осн}$ лежат на одной прямой и $SO_{осн} = H = 3$ см, то $OS$ можно выразить через $d$. Для удобства введем систему координат, где $O_{осн}$ — начало координат, а ось $Oz$ совпадает с высотой пирамиды. Тогда $S$ имеет координаты $(0, 0, 3)$, а центр сферы $O$ имеет координаты $(0, 0, z_O)$. Искомое расстояние $d = |z_O|$.

Квадрат радиуса сферы можно выразить двумя способами:

1. Через расстояние до вершины основания $A(4, 0, 0)$: $R_{сф}^2 = (4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-z_O)^2 = 16 + z_O^2$.

2. Через расстояние до вершины пирамиды $S(0, 0, 3)$: $R_{сф}^2 = (0-0)^2 + (0-0)^2 + (3-z_O)^2 = (3-z_O)^2$.

Приравняем правые части уравнений:

$16 + z_O^2 = (3 - z_O)^2$

$16 + z_O^2 = 9 - 6z_O + z_O^2$

$16 = 9 - 6z_O$

$6z_O = 9 - 16$

$6z_O = -7$

$z_O = -\frac{7}{6}$

Искомое расстояние $d$ равно модулю координаты $z_O$:

$d = |z_O| = |-\frac{7}{6}| = \frac{7}{6}$ см.

Отрицательный знак координаты означает, что центр сферы и вершина пирамиды находятся по разные стороны от плоскости основания.

Ответ: $\frac{7}{6}$ см.