Номер 16, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 109.

Условие.

14.16. Докажите, что если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, причём центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $A_1, A_2, \dots, A_n$ — вершины её основания. По условию задачи боковые рёбра пирамиды равны: $SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n$. Обозначим длину бокового ребра через $l$.

Опустим из вершины $S$ высоту $SH$ на плоскость основания. Точка $H$ является проекцией точки $S$ на эту плоскость. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHA_1, \triangle SHA_2, \dots, \triangle SHA_n$. Все они имеют общий катет $SH$, а их гипотенузы $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$ равны по условию. Следовательно, по теореме Пифагора, другие катеты этих треугольников также равны: $HA_1^2 = SA_1^2 - SH^2$, $HA_2^2 = SA_2^2 - SH^2$, и так далее. Отсюда $HA_1 = HA_2 = \dots = HA_n$. Это означает, что основание высоты $H$ равноудалено от всех вершин основания пирамиды. Таким образом, точка $H$ является центром окружности, описанной около многоугольника-основания.

Сфера может быть описана около пирамиды в том и только в том случае, если существует точка, равноудалённая от всех её вершин. Эта точка и будет центром сферы. Докажем, что такая точка существует и лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Множество всех точек пространства, равноудалённых от вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$, является прямая, проходящая через центр описанной около основания окружности (точку $H$) и перпендикулярная плоскости основания. Эта прямая совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды $SH$.

Таким образом, если центр описанной сферы существует, он должен лежать на прямой $SH$. Найдём на этой прямой точку $O$, которая будет равноудалена от вершины $S$ и от вершин основания. Для этого достаточно найти точку $O$ на прямой $SH$, для которой выполняется равенство $OS = OA_1$. Так как любая точка на прямой $SH$ равноудалена от всех вершин основания, то равенство $OS = OA_1$ будет гарантировать, что точка $O$ равноудалена от всех вершин пирамиды.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $S, H$ и $A_1$. В этой плоскости лежит прямоугольный треугольник $\triangle SHA_1$, а также вся прямая $SH$. Множество точек этой плоскости, равноудалённых от точек $S$ и $A_1$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $SA_1$. Поскольку прямая $SH$ не перпендикулярна гипотенузе $SA_1$ (так как угол $\angle H S A_1$ острый), она не параллельна серединному перпендикуляру к $SA_1$. Следовательно, эти две прямые пересекаются в некоторой единственной точке $O$.

По построению, эта точка $O$ принадлежит прямой $SH$ и одновременно равноудалена от $S$ и $A_1$, то есть $OS = OA_1$. Так как $O$ лежит на прямой $SH$, то $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$. Отсюда следует, что $OS = OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Мы доказали существование единственной точки $O$, равноудалённой от всех вершин пирамиды. Следовательно, около пирамиды можно описать сферу с центром в точке $O$. По построению, центр $O$ лежит на прямой $SH$, то есть на прямой, содержащей высоту пирамиды. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр описанной сферы существует и принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.