Номер 15, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 109.

Условие.

14.15. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$. Все его грани являются правильными треугольниками со стороной $a$. Центр $O$ шара, описанного около тетраэдра, является точкой, равноудаленной от всех его четырех вершин. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу $R$ описанного шара.

Центр описанного шара совпадает с центром тяжести (центроидом) правильного тетраэдра. Этот центр лежит на высоте тетраэдра и делит её в отношении $3:1$, считая от вершины. Чтобы найти радиус $R$, сначала найдем высоту тетраэдра.

Пусть $DH$ — высота тетраэдра, опущенная из вершины $D$ на основание $ABC$. Точка $H$ является центром правильного треугольника $ABC$ (точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Сначала найдем расстояние от вершины основания до его центра, то есть длину отрезка $AH$. Для этого найдем высоту (она же медиана) $AM$ в треугольнике $ABC$. В прямоугольном треугольнике $AMC$ по теореме Пифагора:$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Точка $H$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$. Следовательно, отрезок $AH$, который является радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен:$AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Гипотенуза $AD$ — это ребро тетраэдра, равное $a$, а катет $AH$ мы уже нашли. По теореме Пифагора найдем высоту тетраэдра $DH$:$DH^2 = AD^2 - AH^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.$DH = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Центр описанного шара $O$ лежит на высоте $DH$ и делит её в отношении $DO:OH = 3:1$. Радиус описанного шара $R$ равен длине отрезка $DO$.$R = DO = \frac{3}{4} DH$.

Подставим найденное значение высоты $DH$:$R = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{4}$.