Номер 19, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 109.

Условие.

14.19. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, а боковые рёбра пирамиды равны. Найдите высоту пирамиды, если радиус шара, описанного около этой пирамиды, равен 13 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 10$ см и $b = 24$ см. Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на плоскость основания.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус этой окружности, $R_{осн}$, равен половине гипотенузы. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см. Следовательно, радиус описанной окружности основания: $R_{осн} = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Центр $O_{ш}$ шара, описанного около пирамиды, лежит на прямой, содержащей ее высоту. Пусть $d$ — расстояние от центра шара до плоскости основания. Тогда радиус шара $R_{ш}$, радиус описанной окружности основания $R_{осн}$ и расстояние $d$ связаны соотношением $R_{ш}^2 = R_{осн}^2 + d^2$, которое следует из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара к вершине основания, радиусом описанной окружности основания и отрезком $d$.

Подставим известные значения $R_{ш} = 13$ см и $R_{осн} = 13$ см в формулу: $13^2 = 13^2 + d^2$. Отсюда следует, что $d^2 = 0$, и $d = 0$.

Нулевое расстояние $d=0$ означает, что центр описанного шара $O_{ш}$ совпадает с центром описанной окружности основания $O$. Высота пирамиды $H$ равна расстоянию от ее вершины $S$ до точки $O$. Поскольку точка $O$ является центром шара, то расстояние от нее до вершины $S$ (которая лежит на шаре) равно радиусу шара. Таким образом, $H = R_{ш} = 13$ см.

Ответ: 13 см.