Номер 22, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 109.

Условие.

14.22. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен 4 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами $a = 4$ см и $b = 6$ см. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро является высотой пирамиды $h$.

Такую пирамиду можно рассматривать как часть прямоугольного параллелепипеда. Если принять вершину, из которой исходит перпендикулярное к основанию ребро, за одну из вершин параллелепипеда, то три ребра, выходящие из этой вершины (высота пирамиды и две стороны прямоугольного основания), будут являться измерениями этого параллелепипеда: $a = 4$ см, $b = 6$ см и $c = h$.

Все вершины данной пирамиды являются также вершинами этого прямоугольного параллелепипеда. Поэтому сфера, описанная около пирамиды, является также сферой, описанной около этого параллелепипеда.

Известно, что квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен его главной диагонали $d$. Таким образом, $d = 2R$, где $R$ — радиус описанной сферы. Отсюда следует формула:

$(2R)^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи: $a=4$ см, $b=6$ см, $R=4$ см. Нам нужно найти высоту $h$, которая соответствует измерению $c$.

$(2 \cdot 4)^2 = 4^2 + 6^2 + h^2$

$8^2 = 16 + 36 + h^2$

$64 = 52 + h^2$

Теперь найдём $h^2$:

$h^2 = 64 - 52$

$h^2 = 12$

Извлечём квадратный корень, чтобы найти высоту $h$:

$h = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.