Номер 28, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 110.

Условие.

14.28.

Найдите радиус шара, описанного около усечённой пирамиды $ABC A_1 B_1 C_1$, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AB = 8$ см, $BC = 16\sqrt{2}$ см, $B_1 C_1 = 12\sqrt{2}$ см, а высота пирамиды равна 3 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, описанного около усечённой пирамиды. Центр этого шара, обозначим его $O$, равноудалён от всех вершин пирамиды. Основаниями усечённой пирамиды являются треугольники $ABC$ (нижнее) и $A_1B_1C_1$ (верхнее).

Рассмотрим нижнее основание — треугольник $ABC$. По условию, $\angle ABC = 90^\circ$, $AB = 8$ см, $BC = 16\sqrt{2}$ см. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, центр описанной около него окружности ($O_b$) находится на середине гипотенузы $AC$, а радиус этой окружности ($R_b$) равен половине длины гипотенузы.

Найдём гипотенузу $AC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + (16\sqrt{2})^2 = 64 + 256 \cdot 2 = 64 + 512 = 576$ см$^2$.
$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

Следовательно, радиус окружности, описанной около нижнего основания, равен:
$R_b = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Верхнее основание $A_1B_1C_1$ подобно нижнему основанию $ABC$. Найдём коэффициент подобия $k$ через отношение соответствующих сторон $B_1C_1$ и $BC$:
$k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{12\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Радиус окружности, описанной около верхнего основания ($R_t$), относится к радиусу окружности, описанной около нижнего основания ($R_b$), как коэффициент подобия:
$R_t = k \cdot R_b = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$ см.

Центр описанного шара $O$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскостям оснований и проходящей через центры описанных окружностей оснований $O_b$ и $O_t$. Расстояние между плоскостями оснований — это высота усечённой пирамиды $h = O_bO_t = 3$ см.

Пусть центр шара $O$ находится на расстоянии $x$ от плоскости нижнего основания (от точки $O_b$). Тогда расстояние от $O$ до плоскости верхнего основания (до точки $O_t$) будет равно $|h-x|$. Радиус шара $R$ можно выразить через $R_b$, $R_t$ и $x$ с помощью теоремы Пифагора. Для любой вершины нижнего основания (например, $A$) и любой вершины верхнего основания (например, $A_1$) выполняются равенства:
$R^2 = (O_bA)^2 + (OO_b)^2 = R_b^2 + x^2$
$R^2 = (O_tA_1)^2 + (OO_t)^2 = R_t^2 + (h-x)^2$

Приравняем правые части этих выражений:
$R_b^2 + x^2 = R_t^2 + (h-x)^2$

Подставим известные значения $R_b = 12$, $R_t = 9$ и $h = 3$:
$12^2 + x^2 = 9^2 + (3-x)^2$
$144 + x^2 = 81 + 9 - 6x + x^2$
$144 = 90 - 6x$
$6x = 90 - 144$
$6x = -54$
$x = -9$ см.

Отрицательное значение $x$ означает, что центр шара $O$ лежит вне отрезка $O_bO_t$, на продолжении этого отрезка за точку $O_b$ (то есть со стороны большего основания) на расстоянии 9 см от плоскости этого основания.

Теперь найдём радиус шара $R$, подставив значение $x$ в одно из уравнений для $R^2$:
$R^2 = R_b^2 + x^2 = 12^2 + (-9)^2 = 144 + 81 = 225$
$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.