Номер 29, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 29, страница 110.

Условие.

14.29. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона – $4\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен $120^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, а $AB$ — меньшая боковая сторона, которая перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции.

По условию задачи имеем:
Меньшее основание $b = BC = 12$ см.
Меньшая боковая сторона, являющаяся высотой, $h = AB = 4\sqrt{3}$ см.
Один из углов равен $120^\circ$.

В прямоугольной трапеции два угла прямые: $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Следовательно, угол в $120^\circ$ — это либо $\angle C$, либо $\angle D$. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ это означает $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Угол при меньшем основании ($BC$) будет тупым, а при большем ($AD$) — острым. Таким образом, $\angle C = 120^\circ$.

Найдем величину угла $D$:
$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Для нахождения большего основания $AD$ проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому $AH = BC = 12$ см, а $CH = AB = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем катет $CH = 4\sqrt{3}$ см, а угол $\angle D = 60^\circ$. Найдем длину катета $HD$ через тангенс угла $D$:
$\tan(\angle D) = \frac{CH}{HD}$
$\tan(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{HD}$
$\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{HD}$
Отсюда $HD = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания $AD$, которое состоит из двух отрезков $AH$ и $HD$:
$a = AD = AH + HD = 12 + 4 = 16$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$.
Подставим найденные значения оснований и высоты:
$S = \frac{16 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

Ответ: $56\sqrt{3}$ см².