Номер 27, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 110.

Условие.

14.27. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 4 см, 6 см и 12 см, а все плоские углы при вершине пирамиды – прямые. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана треугольная пирамида SABC, где S – вершина, а ABC – основание. По условию, боковые рёбра равны $SA = 4$ см, $SB = 6$ см, $SC = 12$ см. Все плоские углы при вершине S являются прямыми, то есть $\angle ASB = \angle BSC = \angle ASC = 90^\circ$.

Это означает, что рёбра SA, SB и SC попарно перпендикулярны. Такую пирамиду можно достроить до прямоугольного параллелепипеда, в котором рёбра SA, SB и SC будут выходить из одной вершины и совпадать с его рёбрами по длине и направлению.

Сфера, описанная около данной пирамиды, будет совпадать со сферой, описанной около этого прямоугольного параллелепипеда. Центр описанной сферы для прямоугольного параллелепипеда находится в точке пересечения его диагоналей, а её диаметр равен длине большой диагонали параллелепипеда.

Длину диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$ можно найти по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

В нашем случае измерениями параллелепипеда являются длины боковых рёбер пирамиды: $a = 4$ см, $b = 6$ см, $c = 12$ см.

Подставим значения в формулу, чтобы найти длину диагонали:

$d = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$ см.

Диаметр описанной сферы равен 14 см. Радиус $R$ описанной сферы равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.