Номер 23, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 109.

Условие.

14.23. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 3 см. Одно из боковых рёбер пирамиды равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ – правильный треугольник, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. По условию задачи, сторона основания $a = 3$ см, а длина бокового ребра $SA$ (которое также является высотой пирамиды) равна $h = 2$ см.

Центр $O$ описанной около пирамиды сферы равноудален от всех ее вершин, то есть $OA = OB = OC = OS = R$, где $R$ – искомый радиус сферы.

Так как точка $O$ равноудалена от вершин основания $A$, $B$ и $C$, ее проекция на плоскость основания $(ABC)$ совпадает с центром $O_c$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, радиус $r_c$ описанной около него окружности вычисляется по формуле:$r_c = \frac{a}{\sqrt{3}}$Подставим значение стороны $a=3$ см:$r_c = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Центр сферы $O$ должен лежать на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через точку $O_c$.

Кроме того, центр сферы $O$ равноудален от точек $S$ и $A$, а значит, он лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $SA$ и проходящей через его середину. Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, эта серединная плоскость будет параллельна основанию $(ABC)$ и отстоять от него на расстояние, равное половине длины ребра $SA$.

Таким образом, расстояние от центра сферы $O$ до плоскости основания равно $\frac{h}{2}$:$d = \frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Теперь мы можем найти радиус сферы $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы $O$, центром описанной окружности основания $O_c$ и одной из вершин основания, например, $A$. В этом треугольнике $\triangle OO_cA$ катетами являются расстояние от центра сферы до плоскости основания $d=OO_c=1$ см и радиус описанной окружности основания $r_c=O_cA=\sqrt{3}$ см. Гипотенузой является радиус сферы $R=OA$.

По теореме Пифагора:$R^2 = d^2 + r_c^2$$R^2 = (\frac{h}{2})^2 + r_c^2$

Подставим вычисленные значения:$R^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$$R^2 = 1 + 3 = 4$$R = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.