Номер 25, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 110.

Условие.

14.25. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $5\sqrt{3}$ см и $12\sqrt{3}$ см, а её высота – 17 см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды, а затем, используя эти данные, определим положение центра описанного шара и его радиус.

1. Нахождение радиусов окружностей, описанных около оснований

Основаниями правильной треугольной усеченной пирамиды являются правильные треугольники. Радиус $r$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, стороны оснований равны $a_1 = 12\sqrt{3}$ см и $a_2 = 5\sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, описанной около нижнего (большего) основания, $r_1$:$r_1 = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.

Радиус окружности, описанной около верхнего (меньшего) основания, $r_2$:$r_2 = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ см.

2. Нахождение радиуса описанного шара

Центр $O$ шара, описанного около правильной усеченной пирамиды, лежит на ее высоте (оси). Пусть $O_1$ и $O_2$ – центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Высота пирамиды $h = O_1O_2 = 17$ см.

Пусть $R$ – искомый радиус шара. Все вершины пирамиды лежат на поверхности шара, поэтому расстояние от центра $O$ до любой вершины равно $R$.

Пусть расстояние от центра шара $O$ до плоскости нижнего основания равно $x$, то есть $OO_1 = x$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости верхнего основания будет равно $h - x = 17 - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом $r_1$ и отрезком $x$ (катеты). По теореме Пифагора:$R^2 = r_1^2 + x^2 = 12^2 + x^2$

Аналогично для верхнего основания, рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетами $r_2$ и $(h-x)$:$R^2 = r_2^2 + (h - x)^2 = 5^2 + (17 - x)^2$

Приравняем правые части полученных уравнений, чтобы найти $x$:$12^2 + x^2 = 5^2 + (17 - x)^2$$144 + x^2 = 25 + (289 - 34x + x^2)$$144 = 314 - 34x$$34x = 314 - 144$$34x = 170$$x = \frac{170}{34} = 5$ см.

Теперь, когда мы нашли $x$, можем вычислить $R$. Подставим значение $x$ в первое уравнение:$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.