Номер 8, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 108.

Условие.

14.8. В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 4 см. Найдите радиус шара.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида, вписанная в шар. Сторона её основания (квадрата) $a = 2$ см, а высота $H = 4$ см. Необходимо найти радиус шара $R$.

Поскольку пирамида правильная, центр описанного шара $O$ лежит на её высоте. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ её основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность большого круга шара.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся прямоугольным треугольником. Его гипотенузой будет радиус шара $R$, идущий к вершине основания, а катетами — половина диагонали основания и расстояние от центра шара до плоскости основания.

1. Найдём длину половины диагонали основания. Основание — квадрат со стороной $a=2$ см. Его диагональ $d$ равна $a\sqrt{2}$.
$d = 2\sqrt{2}$ см.
Половина диагонали (первый катет) равна $r_b = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

2. Второй катет — это расстояние от центра шара до плоскости основания. Так как центр шара лежит на высоте пирамиды $H=4$ см, это расстояние равно $|H - R| = |4 - R|$.

3. Применим теорему Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$R^2 = r_b^2 + (H - R)^2$
Подставим известные значения и решим уравнение:
$R^2 = (\sqrt{2})^2 + (4 - R)^2$
$R^2 = 2 + 16 - 8R + R^2$
$0 = 18 - 8R$
$8R = 18$
$R = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Ответ: 2,25 см.