Номер 7, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 108.

Условие.

14.7. Основанием прямой призмы является треугольник с углом 150° и противолежащей ему стороной, равной 15 см. Боковое ребро призмы равно 16 см. Найдите радиус сферы, в которую вписана данная призма.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения радиуса сферы, в которую вписана прямая призма, можно использовать формулу, связывающую радиус сферы ($R$), радиус окружности, описанной около основания призмы ($r$), и высоту призмы ($h$):

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Эта формула следует из рассмотрения прямоугольного треугольника, вершинами которого являются: центр сферы (он же середина высоты призмы, проходящей через центры описанных окружностей оснований), центр описанной окружности одного из оснований и любая вершина этого основания. В этом треугольнике гипотенузой будет радиус сферы $R$, а катетами — радиус описанной окружности основания $r$ и половина высоты призмы $\frac{h}{2}$.

1. Найдем радиус окружности, описанной около основания ($r$).

Основанием призмы является треугольник с углом $\alpha = 150°$ и противолежащей ему стороной $a = 15$ см. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$

Отсюда:

$r = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Подставим известные значения:

$r = \frac{15}{2 \sin 150°}$

Значение синуса $150°$ равно $\sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$.

$r = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{15}{1} = 15$ см.

2. Найдем радиус сферы ($R$).

Теперь у нас есть все необходимые данные:

• радиус описанной окружности основания $r = 15$ см;
• высота призмы $h$ (равная боковому ребру) = 16 см.

Подставим эти значения в исходную формулу:

$R^2 = 15^2 + (\frac{16}{2})^2$

$R^2 = 15^2 + 8^2$

$R^2 = 225 + 64$

$R^2 = 289$

$R = \sqrt{289}$

$R = 17$ см.

Ответ: 17 см.