Номер 5, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 108.

Условие.

14.5. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани – 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $h$ - боковое ребро (высота) правильной шестиугольной призмы, а $a$ - сторона ее основания. По условию задачи, высота призмы $h = 8$ см.

Боковая грань правильной призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этой грани, обозначим ее $d_{гр}$, по условию равна 13 см. Стороны прямоугольника $a$, $h$ и его диагональ $d_{гр}$ связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора: $a^2 + h^2 = d_{гр}^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти квадрат стороны основания $a^2$: $a^2 + 8^2 = 13^2$ $a^2 + 64 = 169$ $a^2 = 169 - 64$ $a^2 = 105$

Радиус шара $R$, описанного около правильной призмы, можно найти по формуле, связывающей его с высотой призмы $h$ и радиусом окружности $R_{осн}$, описанной около основания призмы: $R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$ Это следует из рассмотрения прямоугольного треугольника, катетами которого являются половина высоты призмы и радиус описанной окружности основания, а гипотенузой — радиус описанного шара.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Особенностью правильного шестиугольника является то, что радиус описанной около него окружности равен длине его стороны. Таким образом, $R_{осн} = a$. Следовательно, квадрат радиуса описанной окружности основания равен: $R_{осн}^2 = a^2 = 105$

Теперь мы можем вычислить искомый радиус описанного шара $R$: $R^2 = 105 + (\frac{8}{2})^2$ $R^2 = 105 + 4^2$ $R^2 = 105 + 16$ $R^2 = 121$ $R = \sqrt{121} = 11$ см.

Ответ: 11 см.