Номер 6, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 107.

Условие.

6. Где расположен центр сферы, описанной около правильной пирамиды?

Решение 1.

Решение 3.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте (или на продолжении высоты). Это обусловлено свойствами симметрии правильной пирамиды.

Рассмотрим подробнее:

1. Центр описанной сферы — это точка, равноудаленная от всех вершин многогранника. В нашем случае — от всех вершин пирамиды.
2. Поскольку основание пирамиды — правильный многоугольник, все его вершины лежат на одной окружности. Множество точек пространства, равноудаленных от всех вершин этого многоугольника, представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости основания и проходящую через центр этой окружности.
3. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Следовательно, прямая, о которой говорится в предыдущем пункте, совпадает с осью симметрии пирамиды, на которой лежит ее высота. Таким образом, центр описанной сферы должен лежать на высоте пирамиды.
4. Чтобы найти точное положение центра сферы на этой высоте, достаточно найти точку, которая равноудалена от вершины пирамиды и любой из вершин основания. Эта точка и будет центром описанной сферы.

Геометрически, центр описанной сферы можно найти как точку пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к любому из боковых ребер (рассматривая их в одной плоскости сечения, проходящего через это ребро и высоту).

Если $H$ — высота пирамиды, а $b$ — длина бокового ребра, то радиус $R$ описанной сферы можно вычислить по формуле: $R = \frac{b^2}{2H}$. Положение центра на высоте зависит от соотношения между высотой и размерами основания.

Ответ: Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, расположен на высоте этой пирамиды или на ее продолжении.