Номер 43, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 43, страница 103.

Условие.

13.43. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 32 см, а радиус вписанной окружности – 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, $h = BH = 32$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой, поэтому $H$ — середина $AC$. Центры вписанной ($I$) и описанной ($O$) окружностей лежат на этой высоте $BH$.

Радиус вписанной окружности $r = 12$ см. Центр вписанной окружности $I$ — это точка пересечения биссектрис. Расстояние от центра $I$ до основания $AC$ равно радиусу $r$, поэтому $IH = 12$ см. Так как точка $I$ лежит на высоте $BH$, расстояние от вершины $B$ до центра $I$ равно:

$BI = BH - IH = 32 - 12 = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. $AI$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы угла в треугольнике $ABH$ имеем соотношение:

$\frac{AB}{AH} = \frac{BI}{IH}$

Обозначим боковую сторону $AB = b$ и половину основания $AH = a$. Подставим известные значения:

$\frac{b}{a} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Отсюда выразим $b$ через $a$: $b = \frac{5}{3}a$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABH$:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$b^2 = a^2 + h^2$

$b^2 = a^2 + 32^2$

Подставим в это уравнение выражение $b = \frac{5}{3}a$:

$(\frac{5}{3}a)^2 = a^2 + 1024$

$\frac{25}{9}a^2 = a^2 + 1024$

$\frac{25}{9}a^2 - a^2 = 1024$

$\frac{16}{9}a^2 = 1024$

$a^2 = \frac{1024 \cdot 9}{16} = 64 \cdot 9 = 576$

$a = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны $b$:

$b = \frac{5}{3}a = \frac{5}{3} \cdot 24 = 5 \cdot 8 = 40$ см.

Теперь, когда известны стороны треугольника (боковые стороны по 40 см, основание $2a = 48$ см) и высота (32 см), мы можем найти радиус описанной окружности $R$.

Для равнобедренного треугольника существует формула, связывающая радиус описанной окружности, боковую сторону и высоту, проведенную к основанию: $R = \frac{b^2}{2h}$.

Подставим найденные значения:

$R = \frac{40^2}{2 \cdot 32} = \frac{1600}{64} = 25$ см.

Также можно использовать общую формулу $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны, а $S$ - площадь треугольника.

Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot h = a \cdot h = 24 \cdot 32 = 768$ см².

$R = \frac{40 \cdot 40 \cdot 48}{4 \cdot 768} = \frac{1600 \cdot 48}{3072} = \frac{76800}{3072} = 25$ см.

Ответ: 25 см.