Номер 38, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 38, страница 102.

Условие.

13.38. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Расстояние от центра шара до плоскости одного из данных сечений равно 4 см, а до плоскости другого – 5 см. Найдите длину общей хорды сечений, если радиус шара равен $5\sqrt{2}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем декартову систему координат с началом в центре шара $O(0,0,0)$.

Пусть плоскость первого сечения, $\alpha_1$, перпендикулярна оси $Ox$, а плоскость второго сечения, $\alpha_2$, перпендикулярна оси $Oy$. Так как расстояние от центра шара до плоскости $\alpha_1$ равно 4 см, ее уравнение можно записать как $x=4$. Поскольку расстояние до плоскости $\alpha_2$ равно 5 см, ее уравнение можно записать как $y=5$. Условие перпендикулярности плоскостей выполняется, так как их нормальные векторы $(1,0,0)$ и $(0,1,0)$ ортогональны.

Общая хорда этих двух сечений лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Координаты любой точки на этой линии должны удовлетворять обоим уравнениям: $x=4$ и $y=5$. Эта линия является прямой, параллельной оси $Oz$.

Пусть $A$ и $B$ — концы общей хорды. Так как они лежат на сфере, их координаты должны удовлетворять уравнению сферы с центром в начале координат и радиусом $R = 5\sqrt{2}$ см:

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

Координаты точки $A$ можно записать как $(4, 5, z)$. Подставим эти значения в уравнение сферы, чтобы найти координату $z$:

$4^2 + 5^2 + z^2 = (5\sqrt{2})^2$

Выполним вычисления:

$16 + 25 + z^2 = 25 \cdot 2$

$41 + z^2 = 50$

$z^2 = 50 - 41 = 9$

Отсюда получаем $z = \pm 3$. Это означает, что концы хорды имеют координаты $A(4, 5, 3)$ и $B(4, 5, -3)$.

Длина хорды $AB$ — это расстояние между точками $A$ и $B$. Вычислим его по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

$AB = \sqrt{(4-4)^2 + (5-5)^2 + (-3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.