Номер 32, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 32, страница 102.

Условие.

13.32. Точки $A, B, C, D, E$ и $F$ принадлежат сфере. Докажите, что прямые, перпендикулярные плоскостям $ABC$ и $DEF$ и проходящие через центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $DEF$, пересекаются или совпадают.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$, которой принадлежат все шесть точек $A, B, C, D, E$ и $F$.

По определению сферы, расстояние от ее центра до любой точки на ней равно радиусу, следовательно, $OA = OB = OC = R$ и $OD = OE = OF = R$.

Рассмотрим прямую $l_1$, которая перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$ и проходит через центр $O_1$ его описанной окружности. Любая точка на этой прямой равноудалена от вершин $A, B$ и $C$. Действительно, для любой точки $P$ на прямой $l_1$ прямоугольные треугольники $\triangle PO_1A$, $\triangle PO_1B$ и $\triangle PO_1C$ равны по двум катетам (общий катет $PO_1$ и равные катеты $O_1A=O_1B=O_1C$ как радиусы описанной окружности), а значит, их гипотенузы равны: $PA=PB=PC$. Таким образом, прямая $l_1$ является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от точек $A, B$ и $C$.

Поскольку центр сферы $O$ равноудален от точек $A, B, C$ ($OA=OB=OC$), точка $O$ принадлежит прямой $l_1$.

Аналогично, рассмотрим прямую $l_2$, которая перпендикулярна плоскости треугольника $DEF$ и проходит через центр $O_2$ его описанной окружности. Эта прямая является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от точек $D, E$ и $F$.

Поскольку центр сферы $O$ также равноудален от точек $D, E, F$ ($OD=OE=OF$), точка $O$ принадлежит и прямой $l_2$.

Таким образом, обе прямые $l_1$ и $l_2$ проходят через общую точку — центр сферы $O$. Две прямые в пространстве, имеющие общую точку, либо пересекаются в этой точке, либо совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Каждая из указанных прямых является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин соответствующего треугольника. Центр сферы, на которой лежат все шесть точек, равноудален от вершин каждого треугольника, а значит, принадлежит обеим прямым. Следовательно, эти прямые имеют общую точку (центр сферы), а потому пересекаются или совпадают.