Номер 27, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 102.

Условие.

13.27. Через точку M сферы радиусом 112 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости отмечена точка K, расстояние от которой до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 225 см. Найдите расстояние между точками M и K.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Согласно условию, $R = 112$ см.

Через точку $M$, лежащую на сфере, проведена касательная плоскость. Точка $K$ находится в этой плоскости. Радиус сферы, проведенный в точку касания ($OM$), перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, радиус $OM$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $M$. В частности, $OM \perp MK$.

Таким образом, треугольник $\triangle OMK$ является прямоугольным, где $\angle OMK = 90^\circ$, $OM$ и $MK$ — катеты, а $OK$ — гипотенуза.

Наиболее удаленная от точки $K$ точка сферы, назовем ее $N$, лежит на прямой, проходящей через точку $K$ и центр сферы $O$. Расстояние от точки $K$ до точки $N$ ($KN$) равно сумме расстояния от $K$ до центра сферы ($OK$) и радиуса сферы ($R$).

По условию, $KN = 225$ см. Мы можем записать:

$KN = OK + R$

Отсюда мы можем найти расстояние от точки $K$ до центра сферы $O$:

$OK = KN - R = 225 - 112 = 113$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMK$. Мы знаем длину гипотенузы $OK = 113$ см и одного из катетов $OM = R = 112$ см. Найдем длину второго катета $MK$ по теореме Пифагора:

$OK^2 = OM^2 + MK^2$

Выразим $MK^2$:

$MK^2 = OK^2 - OM^2$

Подставим известные значения:

$MK^2 = 113^2 - 112^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$MK^2 = (113 - 112)(113 + 112) = 1 \cdot 225 = 225$

Теперь найдем длину $MK$:

$MK = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.