Номер 20, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 101.

Условие.

13.20. Вершины треугольника со сторонами 1 см, $\sqrt{3}$ см и 2 см лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от её центра до плоскости этого треугольника равно $4\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны треугольника равны $a = 1$ см, $b = \sqrt{3}$ см и $c = 2$ см. Сначала определим тип этого треугольника, проверив, выполняется ли для него теорема Пифагора.

Вычислим квадраты сторон:

$a^2 = 1^2 = 1$

$b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$c^2 = 2^2 = 4$

Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:

$a^2 + b^2 = 1 + 3 = 4$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, данный треугольник является прямоугольным, где $c=2$ см — его гипотенуза.

Вершины треугольника лежат на сфере. Это означает, что плоскость треугольника пересекает сферу по окружности, и эта окружность является описанной около треугольника. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы, а ее радиус $r$ равен половине гипотенузы.

$r = \frac{c}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом описанной окружности $r$ и расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника $d$ (катеты). По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

По условию задачи, расстояние $d = 4\sqrt{3}$ см. Подставим известные значения в формулу:

$R^2 = 1^2 + (4\sqrt{3})^2$

$R^2 = 1 + 16 \cdot 3$

$R^2 = 1 + 48$

$R^2 = 49$

$R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.