Номер 16, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 101.

Условие.

13.16. Расстояние от центра шара, касающегося граней двугранного угла, до его ребра равно 8 см. Найдите площадь большого круга шара, если величина двугранного угла равна $120^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями, пересекающимися по прямой, которая называется ребром двугранного угла.

Рассмотрим сечение, проходящее через центр шара $O$ и перпендикулярное ребру двугранного угла. В плоскости этого сечения мы получим линейный угол, равный самому двугранному углу, то есть $120^\circ$. Шар в этом сечении будет представлен большим кругом с центром $O$ и радиусом $R$.

Пусть $P$ — точка на ребре двугранного угла, лежащая в плоскости сечения. Тогда отрезок $OP$ — это расстояние от центра шара до ребра, и по условию $OP = 8$ см.

Поскольку шар касается граней двугранного угла, его центр $O$ равноудален от этих граней. В нашем сечении это означает, что точка $O$ равноудалена от сторон линейного угла. Следовательно, луч $PO$ является биссектрисой этого угла. Он делит угол $120^\circ$ на два равных угла:
$\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Проведем из центра $O$ перпендикуляр к одной из сторон линейного угла. Точка пересечения будет точкой касания большого круга с этой стороной. Длина этого перпендикуляра равна радиусу шара $R$.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это расстояние от центра шара до ребра, равное $OP = 8$ см;
• один из катетов — это радиус шара $R$;
• угол, противолежащий этому катету, равен половине двугранного угла, то есть $60^\circ$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\sin(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{R}{OP}$

Подставляем известные значения и находим радиус $R$:
$R = OP \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
$S = \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (16 \cdot 3) = 48\pi$ см².

Ответ: $48\pi$ см².