Номер 17, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 101.

Условие.

13.17. Есть ли у вас замечания к следующим рассуждениям: «Пусть точка $O$ – центр сферы, $A$ и $B$ – произвольные точки сферы. Через три точки $A$, $B$ и $O$ проведём плоскость, пересекающую сферу по окружности, являющейся большой окружностью сферы. Следовательно, через любые две точки сферы можно провести её большую окружность и притом только одну»?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Да, к приведенным рассуждениям есть существенное замечание. Ошибка заключается в неявном предположении, что через три точки $A$, $B$ и $O$ всегда можно провести единственную плоскость.

Согласно аксиоме стереометрии, единственная плоскость может быть проведена через три точки только в том случае, если они не лежат на одной прямой (не коллинеарны). В рассматриваемой задаче следует учесть два случая:

Случай 1: Точки $A$ и $B$ не являются диаметрально противоположными.

В этом случае точки $A$, $B$ и центр сферы $O$ не лежат на одной прямой. Следовательно, через них проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит центр сферы $O$, поэтому ее сечение со сферой является большой окружностью. Для этого случая рассуждение и вывод о существовании и единственности большой окружности верны.

Случай 2: Точки $A$ и $B$ являются диаметрально противоположными (антиподами).

В этом случае точки $A$ и $B$ являются концами одного диаметра сферы, и центр $O$ лежит на отрезке $AB$. Таким образом, все три точки $A$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой. Через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет проходить через центр сферы $O$ и, следовательно, пересекать сферу по большой окружности. Все эти большие окружности будут проходить через точки $A$ и $B$. Таким образом, в этом случае утверждение о том, что можно провести «только одну» большую окружность, неверно.

Вывод из рассуждения «через любые две точки сферы можно провести её большую окружность и притом только одну» является некорректным из-за существования этого особого случая.

Ответ: Да, есть замечание. Рассуждение не учитывает случай, когда две точки $A$ и $B$ на сфере являются диаметрально противоположными. В этом случае точки $A$, $B$ и центр сферы $O$ лежат на одной прямой, и через них можно провести бесконечное множество больших окружностей, а не только одну. Если же точки не являются диаметрально противоположными, то рассуждение верно.