Номер 23, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 101.

Условие.

13.23. Через точку А (-12; 3; -4), принадлежащую сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 169$, проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс. Найдите длину окружности, образовавшейся в сечении.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение сферы дано в виде $x^2 + y^2 + z^2 = 169$. Это каноническое уравнение сферы с центром в начале координат (0; 0; 0) и радиусом $R$. Радиус сферы можно найти из уравнения: $R^2 = 169$, следовательно, $R = \sqrt{169} = 13$.

По условию, через точку $A(-12; 3; -4)$ проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс (оси $Ox$). Любая плоскость, перпендикулярная оси $Ox$, имеет уравнение вида $x = c$, где $c$ - это постоянная, равная координате $x$ всех точек этой плоскости.

Так как плоскость проходит через точку $A(-12; 3; -4)$, ее координата $x$ должна удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, $c = -12$. Таким образом, уравнение секущей плоскости - $x = -12$.

Сечением сферы плоскостью является окружность. Чтобы найти параметры этой окружности, подставим уравнение плоскости в уравнение сферы:

$(-12)^2 + y^2 + z^2 = 169$

$144 + y^2 + z^2 = 169$

$y^2 + z^2 = 169 - 144$

$y^2 + z^2 = 25$

Это уравнение является уравнением окружности, лежащей в плоскости $x = -12$. Уравнение имеет вид $y^2 + z^2 = r^2$, где $r$ - это радиус окружности сечения.

Из уравнения $y^2 + z^2 = 25$ находим, что $r^2 = 25$, значит радиус окружности $r = \sqrt{25} = 5$.

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Подставим найденное значение радиуса:

$L = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$