Номер 24, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 101.

Условие.

13.24. Через точку B(2; -3; 6), принадлежащую сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 49$, проведена плоскость, перпендикулярная оси аппликат. Найдите площадь образовавшегося сечения шара, ограниченного данной сферой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ соответствует сфере с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 49$. Следовательно, радиус шара, ограниченного данной сферой, равен $R = \sqrt{49} = 7$.

Плоскость, перпендикулярная оси аппликат (оси $Oz$), имеет уравнение вида $z = c$, где $c$ — константа. Поскольку эта плоскость проходит через точку $B(2; -3; 6)$, ее уравнение — $z = 6$.

Сечением шара данной плоскостью является круг. Чтобы найти его площадь, нужно определить его радиус, обозначим его $r$. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

Центр шара находится в точке $O(0; 0; 0)$. Плоскость сечения задана уравнением $z=6$. Расстояние $d$ от центра шара до этой плоскости равно аппликате плоскости, то есть $d = 6$.

Теперь найдем квадрат радиуса сечения $r^2$:
$r^2 = R^2 - d^2$
$r^2 = 7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$

Площадь сечения $S$ вычисляется по формуле площади круга $S = \pi r^2$. Подставляя найденное значение $r^2$, получаем:
$S = \pi \cdot 13 = 13\pi$

Ответ: $13\pi$