Номер 26, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 102.

Условие.

13.26. Радиус сферы равен 40 см. Точка A, принадлежащая плоскости, касающейся этой сферы, удалена от точки касания на 9 см. Найдите расстояние от точки A до ближайшей к ней точки сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, который по условию равен 40 см. Пусть $\alpha$ — плоскость, касающаяся сферы в точке $T$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, и расстояние от неё до точки касания $T$ равно 9 см, то есть $AT = 9$ см.

Радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, радиус $OT$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Так как прямая $AT$ лежит в плоскости $\alpha$, то $OT \perp AT$.

Таким образом, треугольник $\triangle OTA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$. В этом треугольнике катеты равны $OT = R = 40$ см и $AT = 9$ см. Расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$ — это гипотенуза $OA$.

По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы $OA$:
$OA^2 = OT^2 + AT^2$
$OA^2 = 40^2 + 9^2$
$OA^2 = 1600 + 81$
$OA^2 = 1681$
$OA = \sqrt{1681} = 41$ см.

Ближайшая к точке $A$ точка на сфере лежит на отрезке, соединяющем точку $A$ с центром сферы $O$. Обозначим эту точку как $B$. Точка $B$ является точкой пересечения отрезка $OA$ и сферы.

Искомое расстояние — это длина отрезка $AB$. Его можно найти как разность между расстоянием от точки $A$ до центра сферы ($OA$) и радиусом сферы ($OB = R$):
$AB = OA - OB$
$AB = 41 - 40 = 1$ см.

Ответ: 1 см.