Номер 29, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 29, страница 102.

Условие.

13.29. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $M (10; -10; 8)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию, сфера касается каждой из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$). Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$.
Расстояние от центра $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Oxy$ (уравнение $z=0$) равно $|z_0|$.
Расстояние от центра $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Oxz$ (уравнение $y=0$) равно $|y_0|$.
Расстояние от центра $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Oyz$ (уравнение $x=0$) равно $|x_0|$.
Таким образом, мы получаем условие: $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $M(10, -10, 8)$. Поскольку все координаты этой точки не равны нулю, сфера должна находиться в том же октанте, что и точка $M$. Точка $M$ находится в октанте, где $x > 0$, $y < 0$, $z > 0$. Следовательно, координаты центра сферы должны иметь те же знаки: $x_0 > 0$, $y_0 < 0$, $z_0 > 0$.
Учитывая, что $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$, получаем:
$x_0 = R$
$y_0 = -R$
$z_0 = R$
Значит, центр сферы имеет координаты $C(R, -R, R)$, а уравнение сферы принимает вид:
$(x - R)^2 + (y + R)^2 + (z - R)^2 = R^2$

Поскольку точка $M(10, -10, 8)$ лежит на сфере, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты точки $M$ в уравнение сферы, чтобы найти $R$:
$(10 - R)^2 + (-10 + R)^2 + (8 - R)^2 = R^2$
Заметим, что $(10 - R)^2 = (R - 10)^2$ и $(-10 + R)^2 = (R - 10)^2$. Уравнение упрощается:
$(R - 10)^2 + (R - 10)^2 + (8 - R)^2 = R^2$
$2(R - 10)^2 + (8 - R)^2 = R^2$
Раскроем скобки:
$2(R^2 - 20R + 100) + (64 - 16R + R^2) = R^2$
$2R^2 - 40R + 200 + 64 - 16R + R^2 = R^2$
Приведем подобные члены:
$3R^2 - 56R + 264 = R^2$
$2R^2 - 56R + 264 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$R^2 - 28R + 132 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем корни:
$R_{1,2} = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132}}{2 \cdot 1} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 528}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{28 \pm 16}{2}$
Получаем два возможных значения для радиуса:
$R_1 = \frac{28 - 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$R_2 = \frac{28 + 16}{2} = \frac{44}{2} = 22$

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи.
1. Для $R_1 = 6$ центр сферы находится в точке $C_1(6, -6, 6)$. Уравнение первой сферы:
$(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 6^2$
$(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 36$
2. Для $R_2 = 22$ центр сферы находится в точке $C_2(22, -22, 22)$. Уравнение второй сферы:
$(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 22^2$
$(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 484$

Ответ: $(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 36$ и $(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 484$.