Номер 25, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 101.

Условие.

13.25. Какая фигура является геометрическим местом центров сфер, которые:

1) касаются данной плоскости в данной точке;

2) имеют данный радиус и касаются данной плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) касаются данной плоскости в данной точке

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$ на этой плоскости ($M \in \alpha$). Мы ищем геометрическое место центров $O$ сфер, которые касаются плоскости $\alpha$ в точке $M$.

Если сфера с центром $O$ и радиусом $R$ касается плоскости $\alpha$ в точке $M$, то радиус, проведенный в точку касания, то есть отрезок $OM$, должен быть перпендикулярен плоскости $\alpha$.

Это означает, что центр сферы $O$ должен лежать на прямой, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной плоскости $\alpha$.

Рассмотрим любую точку $O$ на этой прямой, отличную от $M$. Расстояние от $O$ до $M$ будет положительным, пусть оно равно $R = |OM|$. Построим сферу с центром в $O$ и радиусом $R$. Расстояние от центра этой сферы $O$ до плоскости $\alpha$ равно длине перпендикуляра, опущенного из $O$ на $\alpha$. Так как точка $O$ лежит на прямой, перпендикулярной $\alpha$ и проходящей через $M$, то этим перпендикуляром является отрезок $OM$. Его длина равна $R$.

Поскольку расстояние от центра сферы до плоскости равно ее радиусу, сфера касается плоскости $\alpha$ именно в точке $M$.

Сама точка $M$ исключается из этого множества, так как если бы центр сферы совпадал с точкой $M$, ее радиус был бы равен нулю, что обычно не рассматривается для сферы.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это прямая, перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку, за исключением самой этой точки.

Ответ: Прямая, перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку, за исключением самой этой точки.

2) имеют данный радиус и касаются данной плоскости

Пусть дана плоскость $\alpha$ и радиус $R$ ($R > 0$). Мы ищем геометрическое место центров $O$ сфер, которые имеют радиус $R$ и касаются плоскости $\alpha$.

Сфера с центром $O$ и радиусом $R$ касается плоскости $\alpha$ тогда и только тогда, когда расстояние от ее центра $O$ до плоскости $\alpha$ равно ее радиусу $R$.

Следовательно, задача сводится к нахождению геометрического места точек в пространстве, удаленных от данной плоскости $\alpha$ на заданное расстояние $R$.

Таким геометрическим местом является пара плоскостей, параллельных данной плоскости $\alpha$ и расположенных по обе стороны от нее на расстоянии $R$.

Каждая точка, лежащая на одной из этих двух плоскостей, находится на расстоянии $R$ от плоскости $\alpha$. Следовательно, сфера с центром в такой точке и радиусом $R$ будет касаться плоскости $\alpha$. И наоборот, если сфера радиуса $R$ касается плоскости $\alpha$, ее центр должен находиться на расстоянии $R$ от $\alpha$, то есть лежать на одной из этих двух плоскостей.

Ответ: Две плоскости, параллельные данной плоскости и отстоящие от неё на расстояние, равное данному радиусу.