Номер 19, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 101.

Условие.

13.19. На поверхности шара отмечены точки A, B и C такие, что $AB = BC = 15 \text{ см}, \angle ABC = 120^\circ$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ABC, если его радиус равен 17 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть O — центр шара, а R — его радиус, $R = 17$ см.

Точки A, B и C лежат на поверхности шара, следовательно, они лежат в плоскости, которая пересекает шар. Сечением шара этой плоскостью является окружность. Точки A, B и C лежат на этой окружности, то есть она является описанной окружностью для треугольника ABC.

Пусть O₁ — центр этой окружности, а r — её радиус. Расстояние от центра шара O до плоскости ABC — это длина перпендикуляра OO₁, обозначим её d.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OO₁A (или OO₁B, или OO₁C). В этом треугольнике:

• гипотенуза OA — это радиус шара R;
• катет O₁A — это радиус описанной окружности r;
• катет OO₁ — это искомое расстояние d.

По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$. Отсюда, $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Чтобы найти d, нам нужно вычислить радиус r описанной окружности треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию $AB = BC = 15$ см и $\angle ABC = 120^\circ$. Мы можем найти радиус описанной окружности, используя следствие из теоремы синусов: $r = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)}$.

Сначала найдем сторону AC по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -0.5$, получаем:

$AC^2 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-0.5) = 450 + 225 = 675$

$AC = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус r. Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$r = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

Теперь, когда мы знаем оба радиуса ($R = 17$ см и $r = 15$ см), мы можем найти расстояние d:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.