Номер 13, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 100.

Условие.

13.13 Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим два различных сечения этой сферы плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Каждое сечение представляет собой окружность.

Обозначим радиус сечения, образованного плоскостью $\alpha_1$, как $r_1$, а расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_1$ как $d_1$. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha_1$.

Аналогично, для сечения, образованного плоскостью $\alpha_2$, обозначим радиус как $r_2$, а расстояние от центра сферы до плоскости как $d_2$.

Для любого сечения сферы можно рассмотреть прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр сферы $O$, центр окружности сечения (например, $O_1$ для первого сечения) и любая точка $A$ на этой окружности. В этом треугольнике отрезок $OO_1$ (расстояние $d_1$) и отрезок $O_1A$ (радиус сечения $r_1$) являются катетами, а радиус сферы $OA$ (равный $R$) — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, для первого сечения выполняется равенство:$R^2 = d_1^2 + r_1^2$

Из этого равенства выразим квадрат радиуса сечения:$r_1^2 = R^2 - d_1^2$

Точно такое же соотношение справедливо и для второго сечения:$r_2^2 = R^2 - d_2^2$

По условию задачи, плоскость одного сечения менее удалена от центра сферы, чем плоскость другого. Пусть плоскость $\alpha_1$ будет ближе к центру, то есть $d_1 < d_2$.

Поскольку $d_1$ и $d_2$ — это расстояния, они являются неотрицательными величинами ($d_1 \ge 0, d_2 \ge 0$). Поэтому из неравенства $d_1 < d_2$ следует, что $d_1^2 < d_2^2$.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:$-d_1^2 > -d_2^2$

Прибавим к обеим частям неравенства постоянную величину $R^2$:$R^2 - d_1^2 > R^2 - d_2^2$

Теперь, используя выведенные ранее формулы, заменим выражения в неравенстве на квадраты радиусов сечений:$r_1^2 > r_2^2$

Так как радиусы $r_1$ и $r_2$ являются длинами и, следовательно, положительными величинами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:$r_1 > r_2$

Мы доказали, что если расстояние от центра сферы до плоскости сечения меньше ($d_1 < d_2$), то радиус этого сечения больше ($r_1 > r_2$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого расположена ближе к центру сферы.