Номер 8, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 100.

Условие.

13.8. Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 6 см. Длина линии пересечения сферы с плоскостью равна $16\pi$ см. Найдите радиус сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

При пересечении сферы плоскостью в сечении образуется окружность. Длина этой окружности (линии пересечения) задана по условию и равна $C = 16\pi$ см.

Формула длины окружности: $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности.
Найдем радиус окружности в сечении:
$16\pi = 2\pi r$
$r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$ см.

Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты.

По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

Из условия известно, что расстояние от центра сферы до плоскости $d = 6$ см. Мы нашли, что радиус сечения $r = 8$ см. Подставим эти значения в формулу:
$R^2 = 8^2 + 6^2$
$R^2 = 64 + 36$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.