Номер 6, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 100.

Условие.

13.6. Сколько прямых, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) принадлежащую этой сфере

Пусть дана сфера и точка A, принадлежащая этой сфере. Через точку A проходит единственная касательная плоскость к сфере. Любая прямая, которая лежит в этой касательной плоскости и проходит через точку A, имеет со сферой ровно одну общую точку — точку A. По определению, такая прямая является касательной к сфере.

Поскольку в плоскости через заданную точку можно провести бесконечное множество различных прямых, то через точку, принадлежащую сфере, можно провести бесконечно много касательных к этой сфере. Все они будут лежать в касательной плоскости, проходящей через эту точку.

Ответ: бесконечно много.

2) расположенную вне сферы

Пусть дана сфера с центром в точке O и радиусом R, а также точка P, расположенная вне сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы до точки P больше радиуса ($OP > R$).

Множество всех касательных прямых, проведенных из точки P к сфере, образует поверхность прямого кругового конуса, вершиной которого является точка P. Точки касания этих прямых со сферой образуют окружность, которая является основанием этого конуса.

Так как эта окружность состоит из бесконечного множества точек, то через каждую из них и точку P проходит уникальная касательная прямая. Следовательно, через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечно много касательных к этой сфере.

Ответ: бесконечно много.