Номер 5, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 100.

Условие.

13.5. Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) принадлежащую этой сфере

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и точка $A$, принадлежащая этой сфере.

Касательная плоскость к сфере в точке $A$ — это плоскость, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна радиусу $OA$, проведенному в точку касания.

Согласно fundamentalному свойству пространства, через любую точку (в данном случае $A$) можно провести только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой (прямой, содержащей радиус $OA$).

Таким образом, для каждой точки на сфере существует ровно одна касательная плоскость.

Ответ: одну.

2) расположенную вне сферы

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и точка $P$, расположенная вне сферы.

Плоскость, проходящая через точку $P$ и касающаяся сферы, имеет с ней ровно одну общую точку $T$ (точку касания). Прямая $PT$, соединяющая внешнюю точку и точку касания, является касательной к сфере.

Множество всех точек касания $T$ на сфере, для которых прямые $PT$ являются касательными, образует окружность. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $OP$.

Для каждой точки $T$ на этой окружности касания существует единственная касательная плоскость к сфере. Эта плоскость перпендикулярна радиусу $OT$ и проходит через точку $T$. Так как прямая $PT$ является касательной, она лежит в этой плоскости. Следовательно, и сама точка $P$ лежит в этой плоскости.

Поскольку окружность касания состоит из бесконечного множества точек, то через точку $P$ можно провести бесконечно много плоскостей, касающихся сферы. Совокупность этих плоскостей образует поверхность конуса с вершиной в точке $P$.

Ответ: бесконечно много.