Номер 1, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 100.

Условие.

13.1. Даны сфера радиусом 6 см и плоскость $\alpha$. Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости $\alpha$, чтобы:

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра сферы до плоскости $\alpha$. По условию, $R = 6$ см. Взаимное расположение сферы и плоскости определяется соотношением между $d$ и $R$.

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

Сфера и плоскость не имеют общих точек в том случае, если плоскость полностью находится за пределами сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы до плоскости должно быть строго больше радиуса сферы.
Математически это условие записывается как $d > R$.
Так как $R = 6$ см, то получаем $d > 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть больше 6 см.

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

Сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку, когда плоскость касается сферы. В этом случае плоскость называется касательной к сфере. Расстояние от центра сферы до касательной плоскости в точности равно радиусу сферы.
Математически это условие записывается как $d = R$.
Так как $R = 6$ см, то получаем $d = 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть равно 6 см.

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

Если плоскость пересекает сферу, то в сечении образуется окружность. Это возможно, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.
Математически это условие записывается как $d < R$.
Поскольку расстояние $d$ не может быть отрицательным, то полное условие имеет вид $0 \le d < R$.
Так как $R = 6$ см, то получаем $0 \le d < 6$ см.
Ответ: расстояние должно быть меньше 6 см (но не отрицательным).

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

Радиус $r$ окружности, получаемой в сечении, связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
Длина окружности сечения вычисляется по формуле $C = 2\pi r = 2\pi \sqrt{R^2 - d^2}$.
Чтобы длина окружности $C$ была наибольшей, ее радиус $r$ должен быть максимальным. Из формулы $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ видно, что $r$ максимален, когда вычитаемое $d^2$ минимально. Так как $d$ — это расстояние, его наименьшее возможное значение равно нулю, то есть $d = 0$.
При $d = 0$ плоскость проходит через центр сферы, а радиус сечения $r$ становится равен радиусу сферы $R$. Такая окружность называется большой окружностью сферы.
Ответ: расстояние должно быть равно 0 см.