Номер 2, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 99.

Условие.

2. Что является сечением сферы плоскостью, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы?

Решение 1.

Решение 3.

Сечением сферы плоскостью в данном случае является окружность.

Рассмотрим доказательство этого утверждения. Пусть у нас есть сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Эту сферу пересекает плоскость $\alpha$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ обозначим как $d$. По условию задачи, это расстояние меньше радиуса сферы, то есть $d < R$.

Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $OC$ из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$. Точка $C$ является основанием этого перпендикуляра и лежит в плоскости $\alpha$. Длина отрезка $OC$ равна $d$.

Возьмем любую точку $M$, которая принадлежит линии пересечения сферы и плоскости. Это означает, что точка $M$ одновременно находится и на поверхности сферы, и в плоскости $\alpha$.

Так как точка $M$ лежит на сфере, ее расстояние до центра сферы $O$ равно радиусу $R$. Таким образом, $OM = R$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OCM$. Поскольку $OC$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а отрезок $CM$ полностью лежит в этой плоскости и проходит через точку $C$, то угол $\angle OCM$ прямой, то есть $\triangle OCM$ — прямоугольный треугольник.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора:

$OM^2 = OC^2 + CM^2$

Подставив известные нам величины, получим:

$R^2 = d^2 + CM^2$

Из этого уравнения мы можем найти длину отрезка $CM$:

$CM^2 = R^2 - d^2$

$CM = \sqrt{R^2 - d^2}$

Поскольку по условию $d < R$, то $R^2 > d^2$, и, следовательно, выражение $R^2 - d^2$ является положительным числом. Это значит, что длина $CM$ — это действительное положительное число.

Мы показали, что любая точка $M$, принадлежащая сечению, находится в плоскости $\alpha$ на одинаковом расстоянии $r = CM = \sqrt{R^2 - d^2}$ от точки $C$.

По определению, геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки (центра), называется окружностью.

Таким образом, сечение сферы плоскостью представляет собой окружность с центром в точке $C$ и радиусом $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Ответ: окружность.