Номер 25, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 95.

Условие.

12.25. Даны точки $A (0; -3; 0)$ и $B (0; 6; 0)$. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки $A$ в 2 раза больше расстояния до точки $B$. Какой геометрической фигурой является это ГМТ?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Составьте уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки А в 2 раза больше расстояния до точки В.

Пусть $M(x; y; z)$ – произвольная точка искомого геометрического места точек (ГМТ). Координаты данных точек: $A(0; -3; 0)$ и $B(0; 6; 0)$.

По условию задачи, расстояние от точки $M$ до точки $A$ в 2 раза больше расстояния от точки $M$ до точки $B$. Математически это можно записать как: $MA = 2 \cdot MB$

Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Найдем квадраты расстояний $MA$ и $MB$, чтобы в дальнейшем работать без квадратных корней. $MA^2 = (x - 0)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 0)^2 = x^2 + (y + 3)^2 + z^2$ $MB^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2 + (z - 0)^2 = x^2 + (y - 6)^2 + z^2$

Возведем в квадрат обе части исходного равенства $MA = 2 \cdot MB$: $MA^2 = (2 \cdot MB)^2$ $MA^2 = 4 \cdot MB^2$

Подставим выражения для квадратов расстояний в это уравнение: $x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 4(x^2 + (y - 6)^2 + z^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $x^2 + y^2 + 6y + 9 + z^2 = 4(x^2 + y^2 - 12y + 36 + z^2)$ $x^2 + y^2 + 6y + 9 + z^2 = 4x^2 + 4y^2 - 48y + 144 + 4z^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - x^2) + (4y^2 - y^2) - 48y - 6y + (4z^2 - z^2) + 144 - 9 = 0$ $3x^2 + 3y^2 - 54y + 3z^2 + 135 = 0$

Разделим все уравнение на 3: $x^2 + y^2 - 18y + z^2 + 45 = 0$

Для приведения уравнения к каноническому виду выделим полный квадрат для переменной $y$: $x^2 + (y^2 - 2 \cdot 9 \cdot y + 9^2) - 9^2 + z^2 + 45 = 0$ $x^2 + (y - 9)^2 - 81 + z^2 + 45 = 0$ $x^2 + (y - 9)^2 + z^2 = 36$

Ответ: $x^2 + (y - 9)^2 + z^2 = 36$

Какой геометрической фигурой является это ГМТ?

Полученное уравнение $x^2 + (y - 9)^2 + z^2 = 36$ является каноническим уравнением сферы.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Сравнивая полученное уравнение с общим, находим параметры сферы:

• Центр сферы: $C(0; 9; 0)$
• Квадрат радиуса: $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек является сферой.

Ответ: Сфера с центром в точке $(0; 9; 0)$ и радиусом 6.